Trabajos

Clase 09-06-2016 - Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden sernúmeros, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.^{nota 1} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

${\displaystyle \overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}}$

ada una función f : A → B y un b en B, es decir, un elemento del codominio de f.

La igualdad f(x) = b es una ecuación.

 En la ecuación dada, x se denomina incógnita.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando

${\displaystyle {\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {y}}&b&=&1\end{array}}}$

se tiene la ecuación con variable natural

Tipos de ecuaciones

• Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:
• Ecuaciones algebraicas
  • De primer grado o lineales
  • De segundo grado o cuadráticas
  • De tercer grado o cúbicas
  • Diofánticas o diofantinas
  • Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
• Ecuaciones funcionales

Propiedades

Se consideran como operaciones elementales aquellas que preservan una igualdad matemática. Ejemplos sencillos de operaciones elementales son l

a suma, la multiplicación y sus inversas respectivas, resta y división. Esto implica:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}$

• Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle a=b\Rightarrow ac=bc}$

• Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad no nula, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle \forall c\neq 0\quad a=b\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}}$

Ecuación de primer grado

Artículo principal: Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

${\displaystyle ax+b=0}$

donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}}}$. Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.

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Bibliografia:

Wikipedia:  
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

Ejercicios:  
http://www.matematicasfisicaquimica.com/mas-ejercicios-matematicas-fisica-quimica/235-ejercicios-matematicas-eso/ejercicios-ecuaciones-1-eso-algebra/1357-ejercicios-resueltos-soluciones-ecuaciones-primer-grado-secundaria-eso.html

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